Décomposition en Éléments Simples : Méthode et Calcul

Vous devez décomposer une fraction mathématique compliquée ? Ça semble difficile au premier abord. Pas de panique.

Ce guide vous donne la méthode et les calculs expliqués pas à pas pour réussir une décomposition en éléments simples à chaque fois.

Principe général de la décomposition en éléments simples

La décomposition en éléments simples (DES) est une technique mathématique. Son but est de réécrire une fraction compliquée en une somme de plusieurs fractions beaucoup plus simples. C’est très utile, surtout pour calculer des primitives (intégrales).

Par exemple, la fraction `1/(x²-1)` est difficile à intégrer directement. Après décomposition, elle devient `1/2 * (1/(x-1) – 1/(x+1))`. Et là, c’est bien plus simple à manipuler.

Conditions d’application : fraction rationnelle et degré des polynômes

Avant de commencer, il y a une règle à respecter. La méthode fonctionne uniquement sur une fraction rationnelle. C’est-à-dire une fraction avec un polynôme au numérateur, noté A(x), et un polynôme au dénominateur, noté B(x).

La condition la plus importante est que le degré du polynôme du numérateur doit être strictement inférieur au degré du dénominateur. En clair : `deg(A) < deg(B)`. Si ce n'est pas le cas, il y a une étape supplémentaire à faire avant de commencer la DES (on voit ça juste après).

Étape 1 : La factorisation du dénominateur

La toute première chose à faire est de factoriser complètement le dénominateur B(x). Vous devez le transformer en un produit de facteurs qui ne peuvent plus être simplifiés. Dans les nombres réels ($\mathbb R$), ces facteurs sont de deux types :

• Des facteurs de degré 1 : de la forme `(x-a)`
• Des facteurs de degré 2 avec un discriminant négatif : de la forme `(x²+px+q)` où `p²-4q < 0`

Cette étape est indispensable. Sans une factorisation correcte, vous ne pouvez pas déterminer la forme de la décomposition.

Étape 2 : La forme de la décomposition selon les facteurs

Une fois le dénominateur factorisé, vous pouvez écrire la « forme » de la décomposition. Cette forme dépend directement des facteurs que vous avez trouvés. Voici les règles à suivre.

• Cas 1 : Pôles réels simples
  Si vous avez un facteur `(x-a)` qui n’apparaît qu’une seule fois, on parle de pôle simple. Il donnera un seul terme dans la décomposition : `a/(x-a)`. Le but sera de trouver la valeur de `a`.

• Cas 2 : Pôles réels multiples
  Si un facteur `(x-a)` apparaît plusieurs fois, par exemple `(x-a)ⁿ`, on parle de pôle multiple. Il donnera `n` termes dans la décomposition :
  `a₁/(x-a) + a₂/(x-a)² + … + aₙ/(x-a)ⁿ`. Il faudra trouver toutes les valeurs de `a₁` à `aₙ`.

• Cas 3 : Pôles complexes (facteur de degré 2)
  Si vous avez un facteur de degré 2 irréductible, `(x²+px+q)ⁿ`, on parle de pôles complexes. Chaque puissance de ce facteur donnera un terme de la forme :
  `(m₁x+p₁)/(x²+px+q) + … + (mₙx+pₙ)/(x²+px+q)ⁿ`. Ici, il faudra trouver les coefficients `m` et `p`.

Cas particulier : quand le degré du numérateur est supérieur ou égal

Que faire si la condition `deg(A) < deg(B)` n'est pas respectée ? On ne peut pas commencer la DES directement. Il faut d'abord faire une division euclidienne du numérateur A(x) par le dénominateur B(x).

Cette division vous donne un quotient Q(x) et un reste R(x). La relation est la suivante : `A(x) = B(x) * Q(x) + R(x)`. Le point clé est que le degré du reste R(x) est toujours strictement inférieur au degré de B(x).

Les 4 méthodes pour calculer les coefficients

Une fois la forme de la décomposition posée, le vrai travail commence : trouver la valeur des coefficients (les `a`, `b`, `c`, etc.). Il existe plusieurs techniques. Souvent, on combine plusieurs méthodes pour aller plus vite.

Méthode 1 : L’identification (la méthode systématique)

C’est la méthode la plus basique mais aussi la plus longue. Elle fonctionne toujours. Le principe est de remettre la décomposition au même dénominateur, puis d’identifier les coefficients du numérateur obtenu avec celui de la fraction de départ.

Prenons l’exemple `(5x – 3)/(x² – 4)`.
Le dénominateur se factorise en `(x-2)(x+2)`.

1. On pose la forme :
   `(5x – 3)/((x-2)(x+2)) = a/(x-2) + b/(x+2)`

2. On met tout au même dénominateur :
   Le côté droit devient `(a(x+2) + b(x-2)) / ((x-2)(x+2))`.
   Le numérateur est donc `ax + 2a + bx – 2b`.

3. On regroupe par puissance de x :
   Le numérateur devient `x(a+b) + (2a-2b)`.

4. On identifie les coefficients :
   Le numérateur de départ est `5x – 3`. On compare les deux :

   • Termes en x : `a+b = 5`
   • Termes constants : `2a-2b = -3`

5. On résout le système d’équations :
   Ce système à deux équations donne `a = 7/4` et `b = 13/4`.

Méthode 2 : La multiplication par le pôle (la plus rapide)

Cette technique est très efficace pour trouver les coefficients des pôles simples ou de la plus haute puissance des pôles multiples. Elle permet de trouver un coefficient sans avoir à résoudre de système.

Reprenons notre exemple `(5x – 3)/((x-2)(x+2)) = a/(x-2) + b/(x+2)`.

• Pour trouver `a` (coefficient de `1/(x-2)`):
  On multiplie toute l’égalité par `(x-2)`.
  On obtient `(5x-3)/(x+2) = a + b(x-2)/(x+2)`.
  Ensuite, on remplace `x` par la valeur du pôle, ici `x=2`.
  Le terme avec `b` s’annule : `b(2-2)/(2+2) = 0`.
  Il reste `(5*2 – 3)/(2+2) = a`, ce qui donne `7/4 = a`.

• Pour trouver `b` (coefficient de `1/(x+2)`):
  On multiplie toute l’égalité par `(x+2)`.
  On obtient `(5x-3)/(x-2) = a(x+2)/(x-2) + b`.
  On remplace `x` par `-2`.
  Le terme avec `a` s’annule.
  Il reste `(5*(-2) – 3)/(-2-2) = b`, ce qui donne `-13/-4 = b`, donc `b = 13/4`.

Cette méthode est bien plus rapide. Mais attention, pour un pôle multiple comme `(x-a)ⁿ`, elle ne permet de trouver que le coefficient du terme de plus haute puissance, c’est-à-dire `aₙ` pour `1/(x-a)ⁿ`.

Méthode 3 : La limite en l’infini

Cette astuce est utile pour trouver une relation simple entre les coefficients des termes de plus haut degré. Elle consiste à multiplier toute l’égalité par `x` et à observer ce qui se passe quand `x` tend vers l’infini.

Prenons une décomposition de la forme `F(x) = (ax+b)/(x²-2x+3) + c/(x-3)`. Le degré de `F(x)` est 2. Multiplions par `x` :

`x * F(x) = (ax²+bx)/(x²-2x+3) + cx/(x-3)`

Maintenant, on calcule la limite de chaque terme quand `x` tend vers +∞. On utilise la règle des termes de plus haut degré :

• Le premier terme tend vers `ax²/x²`, c’est-à-dire `a`.
• Le deuxième terme tend vers `cx/x`, c’est-à-dire `c`.

Si la fraction de départ, `F(x)`, tend vers 0 à l’infini (ce qui est le cas si `deg(A) < deg(B)`), alors `x*F(x)` tend aussi vers 0. On obtient donc une équation très simple : `a+c = 0`. C’est une relation précieuse pour résoudre le système plus vite.

Méthode 4 : L’évaluation en un point

C’est une méthode complémentaire, un peu comme un « joker ». L’égalité de la décomposition est vraie pour toutes les valeurs de `x` (sauf les pôles). On peut donc remplacer `x` par une valeur simple pour obtenir une équation facile.

Les valeurs les plus courantes sont `x=0` ou `x=1`.

Reprenons `(5x – 3)/((x-2)(x+2)) = a/(x-2) + b/(x+2)`.
Remplaçons `x` par `0` :

• À gauche : `(5*0 – 3)/(0-2)(0+2) = -3/-4 = 3/4`.
• À droite : `a/(0-2) + b/(0+2) = -a/2 + b/2`.

On obtient l’équation `3/4 = -a/2 + b/2`. Si on connaît déjà `a` ou `b` grâce à une autre méthode, on peut trouver l’autre immédiatement. C’est très utile pour vérifier un calcul ou pour obtenir la dernière équation manquante d’un système.

Exemples d’application complets

Voyons maintenant comment combiner ces méthodes pour résoudre des problèmes de A à Z.

Exemple 1 : Fraction avec partie entière et pôles simples

Soit la fraction `F(x) = (2x³ + 3x² – 44x – 97) / (x² – 3x – 10)`.

1. Vérifier les degrés
   Le degré du numérateur (3) est supérieur au degré du dénominateur (2). On doit donc commencer par une division euclidienne.

2. Faire la division euclidienne
   Après calcul, on trouve :
   `2x³ + 3x² – 44x – 97 = (x² – 3x – 10)(2x+9) + (3x-7)`
   La fraction se réécrit donc : `F(x) = 2x + 9 + (3x – 7)/(x² – 3x – 10)`
   La partie entière est `2x+9`. On va maintenant décomposer la fraction restante.

3. Factoriser le dénominateur
   On cherche les racines de `x² – 3x – 10`. Le discriminant est `(-3)² – 4(1)(-10) = 49 = 7²`. Les racines sont `(3±7)/2`, donc `x=5` et `x=-2`.
   Le dénominateur est `(x – 5)(x + 2)`.

4. Calculer les coefficients
   On pose `(3x – 7)/((x – 5)(x + 2)) = a/(x – 5) + b/(x + 2)`.

   Utilisons la méthode de multiplication :

   • Pour `a` : On multiplie par `(x-5)` et on remplace `x` par `5`.
     `a = (3*5 – 7)/(5+2) = 8/7`.
   • Pour `b` : On multiplie par `(x+2)` et on remplace `x` par `-2`.
     `b = (3*(-2) – 7)/(-2-5) = -13/-7 = 13/7`.

5. Donner le résultat final
   Le résultat complet de la décomposition est :
   `F(x) = 2x + 9 + (8/7)/(x – 5) + (13/7)/(x + 2)`.

Exemple 2 : Fraction avec pôle multiple et facteur de degré 2

C’est un cas plus complexe qui demande de combiner les techniques. Soit la fraction `(2x + 5)/((x² -2x + 3)(x – 3)²)`.
Le degré du numérateur (1) est bien inférieur à celui du dénominateur (4). Le facteur `x²-2x+3` est irréductible (discriminant négatif).

1. Poser la forme de la décomposition
   On a un facteur de degré 2 et un pôle réel double. La forme est :
   `(ax + b)/(x² – 2x + 3) + c/(x – 3) + d/(x – 3)²`.

2. Calculer `d` (le coefficient le plus facile)
   On utilise la méthode de multiplication pour `d`, le coefficient de la plus haute puissance du pôle multiple.
   On multiplie tout par `(x-3)²` et on remplace `x` par `3`.
   `d = (2*3 + 5)/(3² – 2*3 + 3) = 11/(9-6+3) = 11/6`.

3. Utiliser la limite en l’infini
   On multiplie toute l’égalité par `x` et on fait tendre `x` vers +∞.
   `lim x*F(x) = lim (ax²+…)/(x²-…) + lim (cx)/(x-…) + lim (dx)/(x-…)²`
   `0 = a + c + 0`
   On obtient une relation simple : `a+c = 0`, donc `c = -a`.

4. Utiliser l’évaluation en points pour trouver le reste
   On a encore trois inconnues (`a`, `b`, `c`). On sait que `c=-a`, donc il nous faut deux équations.
   Prenons `x=0` :
   `5/(3*9) = b/3 – c/3 + d/9`
   `5/27 = b/3 – c/3 + (11/6)/9 = b/3 – c/3 + 11/54`
   On multiplie tout par 54 pour simplifier : `10 = 18b – 18c + 11`, donc `18b – 18c = -1`.

   Prenons `x=1` :
   `7/((1-2+3)(1-3)²) = (a+b)/2 + c/(-2) + d/4`
   `7/8 = (a+b)/2 – c/2 + (11/6)/4 = (a+b)/2 – c/2 + 11/24`
   On multiplie par 24 : `21 = 12(a+b) – 12c + 11`, donc `10 = 12a + 12b – 12c`.

5. Résoudre le système final
   On a le système :

   • `c = -a`
   • `18b – 18c = -1`
   • `10 = 12a + 12b – 12c`
   En remplaçant `c` par `-a` dans les deux autres équations, on peut résoudre et trouver les valeurs de `a`, `b` et `c`.

Cette approche montre comment choisir la bonne méthode pour chaque coefficient afin de simplifier les calculs au maximum.

Conclusion : à quoi sert concrètement la DES ?

La décomposition en éléments simples peut sembler abstraite, mais son application principale est très concrète : le calcul de primitives. Transformer une fraction compliquée en une somme de termes simples permet d’intégrer chaque terme beaucoup plus facilement.

Reprenons le résultat de notre premier exemple complet :
`F(x) = 2x + 9 + 8/(7(x – 5)) + 13/(7(x + 2))`

Calculer la primitive de `F(x)` est maintenant direct. Il suffit d’intégrer chaque morceau :

• La primitive de `2x` est `x²`.
• La primitive de `9` est `9x`.
• La primitive de `8/(7(x – 5))` est `(8/7)ln(|x – 5|)`.
• La primitive de `13/(7(x + 2))` est `(13/7)ln(|x + 2|)`.

Le résultat final est donc `G(x) = x² + 9x + (8/7)ln(|x – 5|) + (13/7)ln(|x + 2|) + C`. Sans la DES, ce calcul aurait été bien plus difficile.